Risolvi f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Calcola

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Poiché \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int t^{2}\mathrm{d}t con \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Poiché \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int t\mathrm{d}t con \frac{t^{2}}{2}. Moltiplica -1 per \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Semplifica.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Differenzia rispetto a x

$$x\left(x-1\right)$$