Risolvi f(x)=3x/1+x^3

$$f ( x ) = \frac { 3 x } { 1 + x ^ { 3 } }$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{3\left(1-2x^{3}\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1})-3x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3}+1)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\times 3x^{1-1}-3x^{1}\times 3x^{3-1}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\times 3x^{0}-3x^{1}\times 3x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Espandi tramite proprietà distributiva.

$$\frac{x^{3}\times 3x^{0}+3x^{0}-3x^{1}\times 3x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{3x^{3}+3x^{0}-3\times 3x^{1+2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{3x^{3}+3x^{0}-9x^{3}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(3-9\right)x^{3}+3x^{0}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Sottrai 9 da 3.

$$\frac{-6x^{3}+3x^{0}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Scomponi 3 in fattori.

$$\frac{3\left(-2x^{3}+x^{0}\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{3\left(-2x^{3}+1\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

Calcola

$$\frac{3x}{x^{3}+1}$$