Risolvi c^2=4sqrt{c^2+1}

$$c ^ { 2 } = 4 \sqrt { c ^ { 2 } + 1 }$$

Trova c

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx 4,116342055$$

$$c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx -4,116342055$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(c^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$c^{4}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}.

$$c^{4}=4^{2}\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$c^{4}=16\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{c^{2}+1} alla potenza di 2 e ottieni c^{2}+1.

$$c^{4}=16\left(c^{2}+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per c^{2}+1.

$$c^{4}=16c^{2}+16$$

Sottrai 16c^{2} da entrambi i lati.

$$c^{4}-16c^{2}=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$c^{4}-16c^{2}-16=0$$

Sostituisci t per c^{2}.

$$t^{2}-16t-16=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -16 con b e -16 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=4\sqrt{5}+8 t=8-4\sqrt{5}$$

Poiché c=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando c=±\sqrt{t} per t positivo.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$

Sostituisci 2\sqrt{\sqrt{5}+2} a c nell'equazione c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

Semplifica. Il valore c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} soddisfa l'equazione.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

Sostituisci -2\sqrt{\sqrt{5}+2} a c nell'equazione c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

Semplifica. Il valore c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2} soddisfa l'equazione.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

Elenca tutte le soluzioni di c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$