Risolvi {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+2y=8$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-2y+8$$

Sostituisci -2y+8 a x nell'altra equazione x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Aggiungi -2y a -2y.

$$-4y+8=2$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4y=-6$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Sostituisci \frac{3}{2} a y in x=-2y+8. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Moltiplica -2 per \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Aggiungi 8 a -3.

$$x=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Sottrai x-2y=2 a x+2y=8 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$2y+2y=8-2$$

Aggiungi 2y a 2y.

$$4y=8-2$$

Aggiungi 8 a -2.

$$4y=6$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Sostituisci \frac{3}{2} a y in x-2y=2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Moltiplica -2 per \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$