Risolvi 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Scomponi in fattori

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 90m^{2}+am+bm-45. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

La soluzione è la coppia che restituisce -137 come somma.

$$a=-162 b=25$$

Riscrivi 90m^{2}-137m-45 come \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Fattori in 18m nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 5m-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Eleva -137 al quadrato.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Moltiplica -4 per 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Moltiplica -360 per -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Aggiungi 18769 a 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Calcola la radice quadrata di 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

L'opposto di -137 è 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Moltiplica 2 per 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Ora risolvi l'equazione m=\frac{137±187}{180} quando ± è più. Aggiungi 137 a 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Riduci la frazione \frac{324}{180} ai minimi termini estraendo e annullando 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Ora risolvi l'equazione m=\frac{137±187}{180} quando ± è meno. Sottrai 187 da 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Riduci la frazione \frac{-50}{180} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{9}{5} e x_{2} con -\frac{5}{18}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Sottrai \frac{9}{5} da m trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{18} a m trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Moltiplica \frac{5m-9}{5} per \frac{18m+5}{18} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Moltiplica 5 per 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Annulla il massimo comune divisore 90 in 90 e 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Calcola

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$