Risolvi 9z^2-30z+41=0

$$9 z ^ { 2 } - 30 z + 41 = 0$$

Trova z

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i\approx 1,666666667+1,333333333i$$

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i\approx 1,666666667-1,333333333i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -30 a b e 41 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Eleva -30 al quadrato.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 41}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 41.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-1476}}{2\times 9}$$

Aggiungi 900 a -1476.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-576}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±24i}{2\times 9}$$

L'opposto di -30 è 30.

$$z=\frac{30±24i}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$z=\frac{30±24i}{18}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{30±24i}{18} quando ± è più. Aggiungi 30 a 24i.

$$z=\frac{30+24i}{18}$$

Dividi 30+24i per 18.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{30±24i}{18} quando ± è meno. Sottrai 24i da 30.

$$z=\frac{30-24i}{18}$$

Dividi 30-24i per 18.

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Sottrai 41 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9z^{2}-30z+41-41=-41$$

Sottraendo 41 da se stesso rimane 0.

$$9z^{2}-30z=-41$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9z^{2}-30z}{9}=-\frac{41}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)z=-\frac{41}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z=-\frac{41}{9}$$

Dividi -\frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{41}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=\frac{-41+25}{9}$$

Aggiungi -\frac{41}{9} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}$$

Fattore z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{9}}$$

Semplifica.

$$z-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}i z-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}i$$

Aggiungi \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$