Risolvi 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Trova y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combina 9y^{2} e -y^{2} per ottenere 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2y^{2}+ay+by+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=-1$$

Riscrivi 2y^{2}-3y+1 come \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Fattori in 2y nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Fattorizza il termine comune y-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-1=0 e 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combina 9y^{2} e -y^{2} per ottenere 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -12 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Aggiungi 144 a -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±4}{16} quando ± è più. Aggiungi 12 a 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Dividi 16 per 16.

$$y=1$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±4}{16} quando ± è meno. Sottrai 4 da 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Riduci la frazione \frac{8}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combina 9y^{2} e -y^{2} per ottenere 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Fattore y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$