Risolvi 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Scomponi in fattori

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 9y^{2}+ay+by+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-6 b=-6$$

Riscrivi 9y^{2}-12y+4 come \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Fattori in 3y nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3y-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Trova la radice quadrata del termine finale 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{2}{3} e x_{2} con \frac{2}{3}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Sottrai \frac{2}{3} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Sottrai \frac{2}{3} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Moltiplica \frac{3y-2}{3} per \frac{3y-2}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Moltiplica 3 per 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Annulla il massimo comune divisore 9 in 9 e 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Calcola

$$\left(3y-2\right)^{2}$$