Risolvi 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Trova y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -12 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Aggiungi 144 a -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} quando ± è più. Aggiungi 12 a 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Dividi 12+6\sqrt{2} per 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} quando ± è meno. Sottrai 6\sqrt{2} da 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Dividi 12-6\sqrt{2} per 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Aggiungi -\frac{2}{9} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Fattore y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$