Risolvi 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Scomponi in fattori

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 9y^{2}+ay+by-48. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -104 come somma.

$$a=-108 b=4$$

Riscrivi 9y^{2}-104y-48 come \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Fattori in 9y nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Fattorizza il termine comune y-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -104 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Aggiungi 10816 a 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

L'opposto di -104 è 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{104±112}{18} quando ± è più. Aggiungi 104 a 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Dividi 216 per 18.

$$y=12$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{104±112}{18} quando ± è meno. Sottrai 112 da 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 12 e x_{2} con -\frac{4}{9}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{4}{9} a y trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Annulla il massimo comune divisore 9 in 9 e 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Calcola

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$