Risolvi 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Scomponi in fattori

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Procedura della soluzione

Scomponi 3 in fattori.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Considera 3y^{2}+25y-18. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 3y^{2}+ay+by-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 25 come somma.

$$a=-2 b=27$$

Riscrivi 3y^{2}+25y-18 come \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Fattori in y nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3y-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 75 al quadrato.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Aggiungi 5625 a 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-75±87}{18} quando ± è più. Aggiungi -75 a 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Riduci la frazione \frac{12}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-75±87}{18} quando ± è meno. Sottrai 87 da -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Dividi -162 per 18.

$$y=-9$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{2}{3} e x_{2} con -9.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Sottrai \frac{2}{3} da y trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in 9 e 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Calcola

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$