Risolvi 9x^2-4x-69

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 69$$

Scomponi in fattori

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 9x^{2}+ax+bx-69. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=9\left(-69\right)=-621$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -621.

$$1,-621 3,-207 9,-69 23,-27$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-621=-620 3-207=-204 9-69=-60 23-27=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-27 b=23$$

Riscrivi 9x^{2}-4x-69 come \left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(23x-69\right)$$

Fattori in 9x nel primo e 23 nel secondo gruppo.

$$9x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-4x-69=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-69\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -69.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2484}}{2\times 9}$$

Aggiungi 16 a 2484.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2500}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 2500.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±50}{2\times 9}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±50}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{4±50}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±50}{18} quando ± è più. Aggiungi 4 a 50.

$$x=\frac{54}{18}$$

Dividi 54 per 18.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±50}{18} quando ± è meno. Sottrai 50 da 4.

$$x=-\frac{46}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-46}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{23}{9}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 3 e x_{2} con -\frac{23}{9}.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{23}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9x^{2}-4x-69=9\left(x-3\right)\times \frac{9x+23}{9}$$

Annulla il massimo comune divisore 9 in 9 e 9.

$$9x^{2}-4x-69=\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$

Calcola

$$\left(x-3\right)\left(9x+23\right)$$