Risolvi 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -14 a b e -14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Aggiungi 196 a 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} quando ± è più. Aggiungi 14 a 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Dividi 14+10\sqrt{7} per 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} quando ± è meno. Sottrai 10\sqrt{7} da 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Dividi 14-10\sqrt{7} per 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Aggiungi 14 a entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Sottraendo -14 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Sottrai -14 da 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Dividi -\frac{14}{9}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{9}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{9} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{9} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Aggiungi \frac{14}{9} a \frac{49}{81} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Scomponi x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Aggiungi \frac{7}{9} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$