Risolvi 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -12 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Aggiungi 144 a 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} quando ± è più. Aggiungi 12 a 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Dividi 12+12\sqrt{2} per 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} quando ± è meno. Sottrai 12\sqrt{2} da 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Dividi 12-12\sqrt{2} per 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Sottrai -4 da 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Aggiungi \frac{4}{9} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$