Risolvi 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 6 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Aggiungi 36 a -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} quando ± è più. Aggiungi -6 a 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Dividi -6+12i\sqrt{2} per 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} quando ± è meno. Sottrai 12i\sqrt{2} da -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Dividi -6-12i\sqrt{2} per 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Riduci la frazione \frac{6}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Dividi -9 per 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Aggiungi -1 a \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$