Risolvi 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9x^{2}+ax+bx+25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

La soluzione è la coppia che restituisce 30 come somma.

$$a=15 b=15$$

Riscrivi 9x^{2}+30x+25 come \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 30 a b e 25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Eleva 30 al quadrato.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Aggiungi 900 a -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Sottrai 25 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

Sottraendo 25 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Riduci la frazione \frac{30}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Aggiungi -\frac{25}{9} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Fattore x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=-\frac{5}{3}$$