Risolvi 9t^2-19t=24

$$9 t ^ { 2 } - 19 t = 24$$

Trova t

$$t=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$t=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 24 da entrambi i lati.

$$9t^{2}-19t-24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9t^{2}+at+bt-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -19 come somma.

$$a=-27 b=8$$

Riscrivi 9t^{2}-19t-24 come \left(9t^{2}-27t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(9t^{2}-27t\right)+\left(8t-24\right)$$

Fattori in 9t nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$9t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Fattorizza il termine comune t-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(9t+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-3=0 e 9t+8=0.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9t^{2}-19t=24$$

Sottrai 24 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9t^{2}-19t-24=24-24$$

Sottraendo 24 da se stesso rimane 0.

$$9t^{2}-19t-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -19 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -19 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -24.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Aggiungi 361 a 864.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 1225.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

L'opposto di -19 è 19.

$$t=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$t=\frac{19±35}{18}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{19±35}{18} quando ± è più. Aggiungi 19 a 35.

$$t=\frac{54}{18}$$

Dividi 54 per 18.

$$t=3$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{19±35}{18} quando ± è meno. Sottrai 35 da 19.

$$t=-\frac{16}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$t=-\frac{8}{9}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}-19t=24$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9t^{2}-19t}{9}=\frac{24}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t=\frac{24}{9}$$

Riduci la frazione \frac{24}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t=\frac{8}{3}$$

Dividi -\frac{19}{9}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{19}{18}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{19}{18} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{18} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a \frac{361}{324} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Fattore t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} t-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Aggiungi \frac{19}{18} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$