Risolvi 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Trova t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9t^{2}+at+bt+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 9.

$$1,9 3,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+9=10 3+3=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=3 b=3$$

Riscrivi 9t^{2}+6t+1 come \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Scomponi 3t in 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Fattorizza il termine comune 3t+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 6 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Aggiungi 36 a -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Riduci la frazione \frac{6}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{9} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Fattore t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$t=-\frac{1}{3}$$