Risolvi 9n^2-64n+60

$$9 n ^ { 2 } - 64 n + 60$$

Scomponi in fattori

$$\left(n-6\right)\left(9n-10\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 9n^{2}+an+bn+60. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-64 ab=9\times 60=540$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 540.

$$-1,-540 -2,-270 -3,-180 -4,-135 -5,-108 -6,-90 -9,-60 -10,-54 -12,-45 -15,-36 -18,-30 -20,-27$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-540=-541 -2-270=-272 -3-180=-183 -4-135=-139 -5-108=-113 -6-90=-96 -9-60=-69 -10-54=-64 -12-45=-57 -15-36=-51 -18-30=-48 -20-27=-47$$

La soluzione è la coppia che restituisce -64 come somma.

$$a=-54 b=-10$$

Riscrivi 9n^{2}-64n+60 come \left(9n^{2}-54n\right)+\left(-10n+60\right).

$$\left(9n^{2}-54n\right)+\left(-10n+60\right)$$

Fattori in 9n nel primo e -10 nel secondo gruppo.

$$9n\left(n-6\right)-10\left(n-6\right)$$

Fattorizza il termine comune n-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-6\right)\left(9n-10\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9n^{2}-64n+60=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 9\times 60}}{2\times 9}$$

Eleva -64 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 9\times 60}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-36\times 60}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 60.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-2160}}{2\times 9}$$

Aggiungi 4096 a -2160.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{1936}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 1936.

$$n=\frac{-\left(-64\right)±44}{2\times 9}$$

L'opposto di -64 è 64.

$$n=\frac{64±44}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$n=\frac{64±44}{18}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{64±44}{18} quando ± è più. Aggiungi 64 a 44.

$$n=\frac{108}{18}$$

Dividi 108 per 18.

$$n=6$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{64±44}{18} quando ± è meno. Sottrai 44 da 64.

$$n=\frac{20}{18}$$

Riduci la frazione \frac{20}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=\frac{10}{9}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 6 e x_{2} con \frac{10}{9}.

$$9n^{2}-64n+60=9\left(n-6\right)\left(n-\frac{10}{9}\right)$$

Sottrai \frac{10}{9} da n trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9n^{2}-64n+60=9\left(n-6\right)\times \frac{9n-10}{9}$$

Annulla il massimo comune divisore 9 in 9 e 9.

$$9n^{2}-64n+60=\left(n-6\right)\left(9n-10\right)$$

Calcola

$$\left(n-6\right)\left(9n-10\right)$$