Risolvi 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Trova n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3n^{2} da entrambi i lati.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} per ottenere 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6n^{2}+an+bn+20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La soluzione è la coppia che restituisce -23 come somma.

$$a=-15 b=-8$$

Riscrivi 6n^{2}-23n+20 come \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Fattori in 3n nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2n-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2n-5=0 e 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 3n^{2} da entrambi i lati.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} per ottenere 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -23 a b e 20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Eleva -23 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Aggiungi 529 a -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

L'opposto di -23 è 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{23±7}{12} quando ± è più. Aggiungi 23 a 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Riduci la frazione \frac{30}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{23±7}{12} quando ± è meno. Sottrai 7 da 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Riduci la frazione \frac{16}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 3n^{2} da entrambi i lati.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} e -3n^{2} per ottenere 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Sottrai 20 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Dividi -\frac{23}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{23}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{23}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{23}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Aggiungi -\frac{10}{3} a \frac{529}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattore n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Aggiungi \frac{23}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$