Risolvi 9z^2+60z+100

$$9 { z }^{ 2 } +60z+100$$

Scomponi in fattori

$$\left(3z+10\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 9z^{2}+az+bz+100. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=60 ab=9\times 100=900$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 900.

$$1,900 2,450 3,300 4,225 5,180 6,150 9,100 10,90 12,75 15,60 18,50 20,45 25,36 30,30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+900=901 2+450=452 3+300=303 4+225=229 5+180=185 6+150=156 9+100=109 10+90=100 12+75=87 15+60=75 18+50=68 20+45=65 25+36=61 30+30=60$$

La soluzione è la coppia che restituisce 60 come somma.

$$a=30 b=30$$

Riscrivi 9z^{2}+60z+100 come \left(9z^{2}+30z\right)+\left(30z+100\right).

$$\left(9z^{2}+30z\right)+\left(30z+100\right)$$

Fattori in 3z nel primo e 10 nel secondo gruppo.

$$3z\left(3z+10\right)+10\left(3z+10\right)$$

Fattorizza il termine comune 3z+10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3z+10\right)\left(3z+10\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(3z+10\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(9z^{2}+60z+100)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(9,60,100)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 9z^{2}.

$$\sqrt{9z^{2}}=3z$$

Trova la radice quadrata del termine finale 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(3z+10\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$9z^{2}+60z+100=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 9\times 100}}{2\times 9}$$

Eleva 60 al quadrato.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 9\times 100}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-36\times 100}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 100.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 9}$$

Aggiungi 3600 a -3600.

$$z=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$z=\frac{-60±0}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$z=\frac{-60±0}{18}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{10}{3} e x_{2} con -\frac{10}{3}.

$$9z^{2}+60z+100=9\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$9z^{2}+60z+100=9\left(z+\frac{10}{3}\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{10}{3} a z trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9z^{2}+60z+100=9\times \frac{3z+10}{3}\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{10}{3} a z trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9z^{2}+60z+100=9\times \frac{3z+10}{3}\times \frac{3z+10}{3}$$

Moltiplica \frac{3z+10}{3} per \frac{3z+10}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$9z^{2}+60z+100=9\times \frac{\left(3z+10\right)\left(3z+10\right)}{3\times 3}$$

Moltiplica 3 per 3.

$$9z^{2}+60z+100=9\times \frac{\left(3z+10\right)\left(3z+10\right)}{9}$$

Annulla il massimo comune divisore 9 in 9 e 9.

$$9z^{2}+60z+100=\left(3z+10\right)\left(3z+10\right)$$

Calcola

$$\left(3z+10\right)^{2}$$