Risolvi 9x^2-32x+80=0

$$9 { x }^{ 2 } -32x+80 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{16+4\sqrt{29}i}{9}\approx 1,777777778+2,393406581i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{29}i+16}{9}\approx 1,777777778-2,393406581i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-32x+80=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -32 a b e 80 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 9\times 80}}{2\times 9}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 9\times 80}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-36\times 80}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 80.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-2880}}{2\times 9}$$

Aggiungi 1024 a -2880.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-1856}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di -1856.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{29}i}{2\times 9}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{29}i}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{32±8\sqrt{29}i}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±8\sqrt{29}i}{18} quando ± è più. Aggiungi 32 a 8i\sqrt{29}.

$$x=\frac{32+8\sqrt{29}i}{18}$$

Dividi 32+8i\sqrt{29} per 18.

$$x=\frac{16+4\sqrt{29}i}{9}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±8\sqrt{29}i}{18} quando ± è meno. Sottrai 8i\sqrt{29} da 32.

$$x=\frac{-8\sqrt{29}i+32}{18}$$

Dividi 32-8i\sqrt{29} per 18.

$$x=\frac{-4\sqrt{29}i+16}{9}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{16+4\sqrt{29}i}{9} x=\frac{-4\sqrt{29}i+16}{9}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-32x+80=0$$

Sottrai 80 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}-32x+80-80=-80$$

Sottraendo 80 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}-32x=-80$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-32x}{9}=-\frac{80}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}-\frac{32}{9}x=-\frac{80}{9}$$

Dividi -\frac{32}{9}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{16}{9}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{16}{9} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{32}{9}x+\left(-\frac{16}{9}\right)^{2}=-\frac{80}{9}+\left(-\frac{16}{9}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{9} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{32}{9}x+\frac{256}{81}=-\frac{80}{9}+\frac{256}{81}$$

Aggiungi -\frac{80}{9} a \frac{256}{81} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{32}{9}x+\frac{256}{81}=-\frac{464}{81}$$

Fattore x^{2}-\frac{32}{9}x+\frac{256}{81}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{9}\right)^{2}=-\frac{464}{81}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{464}{81}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{16}{9}=\frac{4\sqrt{29}i}{9} x-\frac{16}{9}=-\frac{4\sqrt{29}i}{9}$$

Aggiungi \frac{16}{9} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{16+4\sqrt{29}i}{9} x=\frac{-4\sqrt{29}i+16}{9}$$