Risolvi 9x^2+26x-40=0

$$9 { x }^{ 2 } +26x-40=0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1,111111111$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=26 ab=9\left(-40\right)=-360$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 26 come somma.

$$a=-10 b=36$$

Riscrivi 9x^{2}+26x-40 come \left(9x^{2}-10x\right)+\left(36x-40\right).

$$\left(9x^{2}-10x\right)+\left(36x-40\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(9x-10\right)+4\left(9x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune 9x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(9x-10\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 9x-10=0 e x+4=0.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}+26x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 26 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 9\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 26 al quadrato.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 9\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-36\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -40.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+1440}}{2\times 9}$$

Aggiungi 676 a 1440.

$$x=\frac{-26±\sqrt{2116}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 2116.

$$x=\frac{-26±46}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-26±46}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±46}{18} quando ± è più. Aggiungi -26 a 46.

$$x=\frac{20}{18}$$

Riduci la frazione \frac{20}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{10}{9}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±46}{18} quando ± è meno. Sottrai 46 da -26.

$$x=-\frac{72}{18}$$

Dividi -72 per 18.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+26x-40=0$$

Aggiungi 40 a entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}+26x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Sottraendo -40 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}+26x=-\left(-40\right)$$

Sottrai -40 da 0.

$$9x^{2}+26x=40$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+26x}{9}=\frac{40}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x=\frac{40}{9}$$

Dividi \frac{26}{9}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{9}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{9} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{9} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=\frac{40}{9}+\frac{169}{81}$$

Aggiungi \frac{40}{9} a \frac{169}{81} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=\frac{529}{81}$$

Fattore x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}=\frac{529}{81}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{81}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{13}{9}=\frac{23}{9} x+\frac{13}{9}=-\frac{23}{9}$$

Sottrai \frac{13}{9} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$