Risolvi 9*x^2-27*x-252=0

$$9 \cdot x ^ { 2 } - 27 \cdot x - 252 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-7 b=4$$

Riscrivi x^{2}-3x-28 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -27 a b e -252 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -27 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -252.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Aggiungi 729 a 9072.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 9801.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±99}{2\times 9}$$

L'opposto di -27 è 27.

$$x=\frac{27±99}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{27±99}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{27±99}{18} quando ± è più. Aggiungi 27 a 99.

$$x=\frac{126}{18}$$

Dividi 126 per 18.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{27±99}{18} quando ± è meno. Sottrai 99 da 27.

$$x=-\frac{72}{18}$$

Dividi -72 per 18.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Aggiungi 252 a entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}-27x-252-\left(-252\right)=-\left(-252\right)$$

Sottraendo -252 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}-27x=-\left(-252\right)$$

Sottrai -252 da 0.

$$9x^{2}-27x=252$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-27x}{9}=\frac{252}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{9}\right)x=\frac{252}{9}$$

Dividi -27 per 9.

$$x^{2}-3x=\frac{252}{9}$$

Dividi 252 per 9.

$$x^{2}-3x=28$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 28 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=-4$$