Risolvi 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Scomponi in fattori

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 81x^{2}+ax+bx+100. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

La soluzione è la coppia che restituisce -180 come somma.

$$a=-90 b=-90$$

Riscrivi 81x^{2}-180x+100 come \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Fattori in 9x nel primo e -10 nel secondo gruppo.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune 9x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Trova la radice quadrata del termine finale 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Eleva -180 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Moltiplica -4 per 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Moltiplica -324 per 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Aggiungi 32400 a -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

L'opposto di -180 è 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Moltiplica 2 per 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{10}{9} e x_{2} con \frac{10}{9}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Sottrai \frac{10}{9} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Sottrai \frac{10}{9} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Moltiplica \frac{9x-10}{9} per \frac{9x-10}{9} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Moltiplica 9 per 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Annulla il massimo comune divisore 81 in 81 e 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Calcola

$$\left(9x-10\right)^{2}$$