Risolvi 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Scomponi in fattori

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 81x^{2}+ax+bx+100. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

La soluzione è la coppia che restituisce 180 come somma.

$$a=90 b=90$$

Riscrivi 81x^{2}+180x+100 come \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Fattori in 9x nel primo e 10 nel secondo gruppo.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Fattorizza il termine comune 9x+10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Trova la radice quadrata del termine finale 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Eleva 180 al quadrato.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Moltiplica -4 per 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Moltiplica -324 per 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Aggiungi 32400 a -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Moltiplica 2 per 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{10}{9} e x_{2} con -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{10}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{10}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Moltiplica \frac{9x+10}{9} per \frac{9x+10}{9} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Moltiplica 9 per 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Annulla il massimo comune divisore 81 in 81 e 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Calcola

$$\left(9x+10\right)^{2}$$