Risolvi 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Scomponi in fattori

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 81n^{2}+an+bn+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

La soluzione è la coppia che restituisce 18 come somma.

$$a=9 b=9$$

Riscrivi 81n^{2}+18n+1 come \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Scomponi 9n in 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Fattorizza il termine comune 9n+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Eleva 18 al quadrato.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Moltiplica -4 per 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Aggiungi 324 a -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Moltiplica 2 per 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{1}{9} e x_{2} con -\frac{1}{9}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{1}{9} a n trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{1}{9} a n trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Moltiplica \frac{9n+1}{9} per \frac{9n+1}{9} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Moltiplica 9 per 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Annulla il massimo comune divisore 81 in 81 e 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Calcola

$$\left(9n+1\right)^{2}$$