Risolvi 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Scomponi in fattori

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 81x^{2}+ax+bx+25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

La soluzione è la coppia che restituisce 90 come somma.

$$a=45 b=45$$

Riscrivi 81x^{2}+90x+25 come \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Fattorizza 9x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Fattorizzare il termine comune 9x+5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Trova la radice quadrata del termine finale 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Eleva 90 al quadrato.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Moltiplica -4 per 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Moltiplica -324 per 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Aggiungi 8100 a -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Moltiplica 2 per 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{5}{9} e x_{2} con -\frac{5}{9}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Moltiplica \frac{9x+5}{9} per \frac{9x+5}{9} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Moltiplica 9 per 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Cancella 81, il massimo comune divisore in 81 e 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Calcola

$$\left(9x+5\right)^{2}$$