Risolvi 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

Scomponi in fattori

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 80x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 23 come somma.

$$a=-25 b=48$$

Riscrivi 80x^{2}+23x-15 come \left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 16x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Eleva 23 al quadrato.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Moltiplica -4 per 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Moltiplica -320 per -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Aggiungi 529 a 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Calcola la radice quadrata di 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

Moltiplica 2 per 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±73}{160} quando ± è più. Aggiungi -23 a 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Riduci la frazione \frac{50}{160} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±73}{160} quando ± è meno. Sottrai 73 da -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Riduci la frazione \frac{-96}{160} ai minimi termini estraendo e annullando 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{5}{16} e x_{2} con -\frac{3}{5}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Sottrai \frac{5}{16} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{5} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

Moltiplica \frac{16x-5}{16} per \frac{5x+3}{5} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

Moltiplica 16 per 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Annulla il massimo comune divisore 80 in 80 e 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Calcola

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$