Risolvi 8y^2+20y-132=0

$$8 y ^ { 2 } + 20 y - 132 = 0$$

Trova y

$$y = -\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2} = -5,5$$

$$y=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$2y^{2}+5y-33=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2y^{2}+ay+by-33. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=2\left(-33\right)=-66$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -66.

$$-1,66 -2,33 -3,22 -6,11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+66=65 -2+33=31 -3+22=19 -6+11=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-6 b=11$$

Riscrivi 2y^{2}+5y-33 come \left(2y^{2}-6y\right)+\left(11y-33\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(11y-33\right)$$

Fattori in 2y nel primo e 11 nel secondo gruppo.

$$2y\left(y-3\right)+11\left(y-3\right)$$

Fattorizza il termine comune y-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(2y+11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-3=0 e 2y+11=0.

$$y=3 y=-\frac{11}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8y^{2}+20y-132=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 20 a b e -132 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 8\left(-132\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$y=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 8\left(-132\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$y=\frac{-20±\sqrt{400-32\left(-132\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -132.

$$y=\frac{-20±\sqrt{400+4224}}{2\times 8}$$

Aggiungi 400 a 4224.

$$y=\frac{-20±\sqrt{4624}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 4624.

$$y=\frac{-20±68}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$y=\frac{-20±68}{16}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-20±68}{16} quando ± è più. Aggiungi -20 a 68.

$$y=\frac{48}{16}$$

Dividi 48 per 16.

$$y=3$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-20±68}{16} quando ± è meno. Sottrai 68 da -20.

$$y=-\frac{88}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-88}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$y=-\frac{11}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=3 y=-\frac{11}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8y^{2}+20y-132=0$$

Aggiungi 132 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8y^{2}+20y-132-\left(-132\right)=-\left(-132\right)$$

Sottraendo -132 da se stesso rimane 0.

$$8y^{2}+20y=-\left(-132\right)$$

Sottrai -132 da 0.

$$8y^{2}+20y=132$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8y^{2}+20y}{8}=\frac{132}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$y^{2}+\frac{20}{8}y=\frac{132}{8}$$

Riduci la frazione \frac{20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=\frac{132}{8}$$

Riduci la frazione \frac{132}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=\frac{33}{2}$$

Dividi \frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{33}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=\frac{33}{2}+\frac{25}{16}$$

Aggiungi \frac{33}{2} a \frac{25}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=\frac{289}{16}$$

Fattore y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{5}{4}=\frac{17}{4} y+\frac{5}{4}=-\frac{17}{4}$$

Sottrai \frac{5}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=3 y=-\frac{11}{2}$$