Risolvi 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -8 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Aggiungi 64 a 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} quando ± è più. Aggiungi 8 a 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Dividi 8+4\sqrt{6} per 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{6} da 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Dividi 8-4\sqrt{6} per 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Dividi -8 per 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$