Risolvi 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Scomponi in fattori

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 8x^{2}+ax+bx+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La soluzione è la coppia che restituisce -22 come somma.

$$a=-12 b=-10$$

Riscrivi 8x^{2}-22x+15 come \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Fattori in 4x nel primo e -5 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Eleva -22 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Aggiungi 484 a -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

L'opposto di -22 è 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{22±2}{16} quando ± è più. Aggiungi 22 a 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Riduci la frazione \frac{24}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{22±2}{16} quando ± è meno. Sottrai 2 da 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Riduci la frazione \frac{20}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{2} e x_{2} con \frac{5}{4}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Sottrai \frac{5}{4} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Moltiplica \frac{2x-3}{2} per \frac{4x-5}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Annulla il massimo comune divisore 8 in 8 e 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Calcola

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$