Risolvi 8x^2+72x+108=0

$$8 x ^ { 2 } + 72 x + 108 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}\approx -1,901923789$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}\approx -7,098076211$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 72 a b e 108 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Eleva 72 al quadrato.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-32\times 108}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 108.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3456}}{2\times 8}$$

Aggiungi 5184 a -3456.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1728}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 1728.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} quando ± è più. Aggiungi -72 a 24\sqrt{3}.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-72}{16}$$

Dividi -72+24\sqrt{3} per 16.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} quando ± è meno. Sottrai 24\sqrt{3} da -72.

$$x=\frac{-24\sqrt{3}-72}{16}$$

Dividi -72-24\sqrt{3} per 16.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

Sottrai 108 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+72x+108-108=-108$$

Sottraendo 108 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+72x=-108$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+72x}{8}=-\frac{108}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{72}{8}x=-\frac{108}{8}$$

Dividi 72 per 8.

$$x^{2}+9x=-\frac{108}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-108}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+9x=-\frac{27}{2}$$

Dividi 9, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{9}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}$$

Aggiungi -\frac{27}{2} a \frac{81}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{27}{4}$$

Fattore x^{2}+9x+\frac{81}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Sottrai \frac{9}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$