Risolvi 8x^2+28x+12=0

$$8 x ^ { 2 } + 28 x + 12 = 0$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 4.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=2\times 3=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$1,6 2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+6=7 2+3=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=1 b=6$$

Riscrivi 2x^{2}+7x+3 come \left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right).

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x+1=0 e x+3=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+28x+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 28 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Eleva 28 al quadrato.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-32\times 12}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 12.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-384}}{2\times 8}$$

Aggiungi 784 a -384.

$$x=\frac{-28±\sqrt{400}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 400.

$$x=\frac{-28±20}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-28±20}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±20}{16} quando ± è più. Aggiungi -28 a 20.

$$x=-\frac{8}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-28±20}{16} quando ± è meno. Sottrai 20 da -28.

$$x=-\frac{48}{16}$$

Dividi -48 per 16.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+28x+12=0$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+28x+12-12=-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+28x=-12$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+28x}{8}=-\frac{12}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{28}{8}x=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{28}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividi \frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi -\frac{3}{2} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Sottrai \frac{7}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$