Risolvi 8x^2+22x-52=0

$$8 x ^ { 2 } + 22 x - 52 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{537} - 11}{8} \approx 1,521657557$$

$$x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}\approx -4,271657557$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+22x-52=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 22 a b e -52 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 8\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 22 al quadrato.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\times 8\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-32\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -52.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+1664}}{2\times 8}$$

Aggiungi 484 a 1664.

$$x=\frac{-22±\sqrt{2148}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 2148.

$$x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16} quando ± è più. Aggiungi -22 a 2\sqrt{537}.

$$x=\frac{2\sqrt{537}-22}{16}$$

Dividi -22+2\sqrt{537} per 16.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{537} da -22.

$$x=\frac{-2\sqrt{537}-22}{16}$$

Dividi -22-2\sqrt{537} per 16.

$$x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8} x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+22x-52=0$$

Aggiungi 52 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+22x-52-\left(-52\right)=-\left(-52\right)$$

Sottraendo -52 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+22x=-\left(-52\right)$$

Sottrai -52 da 0.

$$8x^{2}+22x=52$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+22x}{8}=\frac{52}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{22}{8}x=\frac{52}{8}$$

Riduci la frazione \frac{22}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{52}{8}$$

Riduci la frazione \frac{52}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{13}{2}$$

Dividi \frac{11}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{13}{2}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{13}{2}+\frac{121}{64}$$

Aggiungi \frac{13}{2} a \frac{121}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{537}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{537}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{537}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{537}}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{537}}{8}$$

Sottrai \frac{11}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8} x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$