Risolvi 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx-7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-4 b=14$$

Riscrivi 8x^{2}+10x-7 come \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Fattorizza 4x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Fattorizzare il termine comune 2x-1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 2x-1=0 e 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 10 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Aggiungi 100 a 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±18}{16} quando ± è più. Aggiungi -10 a 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Riduci la frazione \frac{8}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±18}{16} quando ± è meno. Sottrai 18 da -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-28}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Riduci la frazione \frac{10}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Dividi \frac{5}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Aggiungi \frac{7}{8} a \frac{25}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Scomponi x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Sottrai \frac{5}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$