Risolvi 8w^2-41w+5=0

$$8 w ^ { 2 } - 41 w + 5 = 0$$

Trova w

$$w=\frac{1}{8}=0,125$$

$$w=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8w^{2}+aw+bw+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=8\times 5=40$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-40 b=-1$$

Riscrivi 8w^{2}-41w+5 come \left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right).

$$\left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right)$$

Fattori in 8w nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$8w\left(w-5\right)-\left(w-5\right)$$

Fattorizza il termine comune w-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(w-5\right)\left(8w-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere w-5=0 e 8w-1=0.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -41 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Eleva -41 al quadrato.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-32\times 5}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 5.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-160}}{2\times 8}$$

Aggiungi 1681 a -160.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1521}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 1521.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±39}{2\times 8}$$

L'opposto di -41 è 41.

$$w=\frac{41±39}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$w=\frac{41±39}{16}$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{41±39}{16} quando ± è più. Aggiungi 41 a 39.

$$w=\frac{80}{16}$$

Dividi 80 per 16.

$$w=5$$

Ora risolvi l'equazione w=\frac{41±39}{16} quando ± è meno. Sottrai 39 da 41.

$$w=\frac{2}{16}$$

Riduci la frazione \frac{2}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$w=\frac{1}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8w^{2}-41w+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$8w^{2}-41w=-5$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8w^{2}-41w}{8}=-\frac{5}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w=-\frac{5}{8}$$

Dividi -\frac{41}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{41}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{41}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{41}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=-\frac{5}{8}+\frac{1681}{256}$$

Aggiungi -\frac{5}{8} a \frac{1681}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=\frac{1521}{256}$$

Fattore w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}=\frac{1521}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{256}}$$

Semplifica.

$$w-\frac{41}{16}=\frac{39}{16} w-\frac{41}{16}=-\frac{39}{16}$$

Aggiungi \frac{41}{16} a entrambi i lati dell'equazione.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$