Risolvi 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Scomponi in fattori

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 8x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-20 b=6$$

Riscrivi 8x^{2}-14x-15 come \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Aggiungi 196 a 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±26}{16} quando ± è più. Aggiungi 14 a 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Riduci la frazione \frac{40}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±26}{16} quando ± è meno. Sottrai 26 da 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{5}{2} e x_{2} con -\frac{3}{4}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Sottrai \frac{5}{2} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{4} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Moltiplica \frac{2x-5}{2} per \frac{4x+3}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Annulla il massimo comune divisore 8 in 8 e 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Calcola

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$