Risolvi 8x^2+2x-3=0

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-4 b=6$$

Riscrivi 8x^{2}+2x-3 come \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 2 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Aggiungi 4 a 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±10}{16} quando ± è più. Aggiungi -2 a 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Riduci la frazione \frac{8}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±10}{16} quando ± è meno. Sottrai 10 da -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Riduci la frazione \frac{2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Dividi \frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{3}{8} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Sottrai \frac{1}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$