Risolvi 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Scomponi in fattori

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 77r^{2}+ar+br-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 45 come somma.

$$a=-21 b=66$$

Riscrivi 77r^{2}+45r-18 come \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Fattori in 7r nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 11r-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Eleva 45 al quadrato.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Moltiplica -4 per 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Moltiplica -308 per -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Aggiungi 2025 a 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Calcola la radice quadrata di 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Moltiplica 2 per 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-45±87}{154} quando ± è più. Aggiungi -45 a 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Riduci la frazione \frac{42}{154} ai minimi termini estraendo e annullando 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-45±87}{154} quando ± è meno. Sottrai 87 da -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Riduci la frazione \frac{-132}{154} ai minimi termini estraendo e annullando 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{11} e x_{2} con -\frac{6}{7}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Sottrai \frac{3}{11} da r trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Aggiungi \frac{6}{7} a r trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Moltiplica \frac{11r-3}{11} per \frac{7r+6}{7} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Moltiplica 11 per 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Annulla il massimo comune divisore 77 in 77 e 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Calcola

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$