Risolvi 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-3 b=10$$

Riscrivi 15x^{2}+7x-2 come \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-1=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 75 a a, 35 a b e -10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Eleva 35 al quadrato.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Moltiplica -4 per 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Moltiplica -300 per -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Aggiungi 1225 a 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Calcola la radice quadrata di 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Moltiplica 2 per 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-35±65}{150} quando ± è più. Aggiungi -35 a 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Riduci la frazione \frac{30}{150} ai minimi termini estraendo e annullando 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-35±65}{150} quando ± è meno. Sottrai 65 da -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Riduci la frazione \frac{-100}{150} ai minimi termini estraendo e annullando 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati dell'equazione.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Sottraendo -10 da se stesso rimane 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Sottrai -10 da 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Dividi entrambi i lati per 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

La divisione per 75 annulla la moltiplicazione per 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Riduci la frazione \frac{35}{75} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Riduci la frazione \frac{10}{75} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Dividi \frac{7}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{30}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{30} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{30} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Aggiungi \frac{2}{15} a \frac{49}{900} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Sottrai \frac{7}{30} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$