Risolvi 7z^2+8z+3=3z^2

$$7 z ^ { 2 } + 8 z + 3 = 3 z ^ { 2 }$$

Trova z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$z=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3z^{2} da entrambi i lati.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combina 7z^{2} e -3z^{2} per ottenere 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4z^{2}+az+bz+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=4\times 3=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=2 b=6$$

Riscrivi 4z^{2}+8z+3 come \left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right).

$$\left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right)$$

Fattori in 2z nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2z\left(2z+1\right)+3\left(2z+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2z+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2z+1\right)\left(2z+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2z+1=0 e 2z+3=0.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 3z^{2} da entrambi i lati.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combina 7z^{2} e -3z^{2} per ottenere 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 8 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 3.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Aggiungi 64 a -48.

$$z=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$z=\frac{-8±4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$z=\frac{-8±4}{8}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-8±4}{8} quando ± è più. Aggiungi -8 a 4.

$$z=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$z=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-8±4}{8} quando ± è meno. Sottrai 4 da -8.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$z=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 3z^{2} da entrambi i lati.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combina 7z^{2} e -3z^{2} per ottenere 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4z^{2}+8z=-3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4z^{2}+8z}{4}=-\frac{3}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$z^{2}+\frac{8}{4}z=-\frac{3}{4}$$

Dividi 8 per 4.

$$z^{2}+2z=-\frac{3}{4}$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+2z+1^{2}=-\frac{3}{4}+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$z^{2}+2z+1=-\frac{3}{4}+1$$

Aggiungi -\frac{3}{4} a 1.

$$z^{2}+2z+1=\frac{1}{4}$$

Fattore z^{2}+2z+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$z+1=\frac{1}{2} z+1=-\frac{1}{2}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$