Risolvi 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Trova x,.y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$7x-15y-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$7x-15y=2$$

Aggiungi 15y a entrambi i lati dell'equazione.

$$7x=15y+2$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Moltiplica \frac{1}{7} per 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Sostituisci \frac{15y+2}{7} a x nell'altra equazione x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Aggiungi \frac{15y}{7} a 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Sottrai \frac{2}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{29}{7}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=\frac{19}{29}$$

Sostituisci \frac{19}{29} a y in x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Moltiplica \frac{15}{7} per \frac{19}{29} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Aggiungi \frac{2}{7} a \frac{285}{203} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{49}{29}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Per rendere 7x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Semplifica.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Sottrai 7x+14y=21 a 7x-15y-2=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Aggiungi 7x a -7x. I termini 7x e -7x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-15y-14y-2=-21$$

Aggiungi -15y a -14y.

$$-29y-2=-21$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-29y=-19$$

Dividi entrambi i lati per -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Sostituisci \frac{19}{29} a y in x+2y=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Moltiplica 2 per \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Sottrai \frac{38}{29} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{49}{29}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$