Risolvi 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -32 come somma.

$$a=-35 b=3$$

Riscrivi 7x^{2}-32x-15 come \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Fattori in 7x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, -32 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Aggiungi 1024 a 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±38}{14} quando ± è più. Aggiungi 32 a 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Dividi 70 per 14.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{32±38}{14} quando ± è meno. Sottrai 38 da 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Dividi -\frac{32}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{16}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{16}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Aggiungi \frac{15}{7} a \frac{256}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Fattore x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Aggiungi \frac{16}{7} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$