Risolvi 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Aggiungi 16 a -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} quando ± è più. Aggiungi -4 a 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Dividi -4+2i\sqrt{3} per 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{3} da -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Dividi -4-2i\sqrt{3} per 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Dividi \frac{4}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Aggiungi -\frac{1}{7} a \frac{4}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Scomponi x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Sottrai \frac{2}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$