Risolvi 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Trova x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-7 b=9$$

Riscrivi 7x^{2}+2x-9 come \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Fattori in 7x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7x^{2}+2x=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 2 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Aggiungi 4 a 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±16}{14} quando ± è più. Aggiungi -2 a 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Dividi 14 per 14.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±16}{14} quando ± è meno. Sottrai 16 da -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{9}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Dividi \frac{2}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Aggiungi \frac{9}{7} a \frac{1}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Fattore x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Sottrai \frac{1}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$