Risolvi 7n^2=-8+15n

$$7 n ^ { 2 } = - 8 + 15 n$$

Trova n

$$n=1$$

$$n = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1,142857143$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai -8 da entrambi i lati.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

L'opposto di -8 è 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

Sottrai 15n da entrambi i lati.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7n^{2}+an+bn+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-15 ab=7\times 8=56$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -15 come somma.

$$a=-8 b=-7$$

Riscrivi 7n^{2}-15n+8 come \left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right).

$$\left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right)$$

Fattori in n nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$n\left(7n-8\right)-\left(7n-8\right)$$

Fattorizza il termine comune 7n-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7n-8\right)\left(n-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 7n-8=0 e n-1=0.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai -8 da entrambi i lati.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

L'opposto di -8 è 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

Sottrai 15n da entrambi i lati.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, -15 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-28\times 8}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per 8.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-224}}{2\times 7}$$

Aggiungi 225 a -224.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{1}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±1}{2\times 7}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$n=\frac{15±1}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$n=\frac{15±1}{14}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{15±1}{14} quando ± è più. Aggiungi 15 a 1.

$$n=\frac{16}{14}$$

Riduci la frazione \frac{16}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=\frac{8}{7}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{15±1}{14} quando ± è meno. Sottrai 1 da 15.

$$n=\frac{14}{14}$$

Dividi 14 per 14.

$$n=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 15n da entrambi i lati.

$$7n^{2}-15n=-8$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7n^{2}-15n}{7}=-\frac{8}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n=-\frac{8}{7}$$

Dividi -\frac{15}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{14}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{14} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{14} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=-\frac{8}{7}+\frac{225}{196}$$

Aggiungi -\frac{8}{7} a \frac{225}{196} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=\frac{1}{196}$$

Fattore n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{15}{14}=\frac{1}{14} n-\frac{15}{14}=-\frac{1}{14}$$

Aggiungi \frac{15}{14} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$