Risolvi 7b^2+32b+25=0

$$7 b ^ { 2 } + 32 b + 25 = 0$$

Trova b

$$b = -\frac{25}{7} = -3\frac{4}{7} \approx -3,571428571$$

$$b=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7b^{2}+ab+bb+25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=32 ab=7\times 25=175$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 175.

$$1,175 5,35 7,25$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+175=176 5+35=40 7+25=32$$

La soluzione è la coppia che restituisce 32 come somma.

$$a=7 b=25$$

Riscrivi 7b^{2}+32b+25 come \left(7b^{2}+7b\right)+\left(25b+25\right).

$$\left(7b^{2}+7b\right)+\left(25b+25\right)$$

Fattori in 7b nel primo e 25 nel secondo gruppo.

$$7b\left(b+1\right)+25\left(b+1\right)$$

Fattorizza il termine comune b+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(b+1\right)\left(7b+25\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere b+1=0 e 7b+25=0.

$$b=-1 b=-\frac{25}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7b^{2}+32b+25=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 32 a b e 25 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 7\times 25}}{2\times 7}$$

Eleva 32 al quadrato.

$$b=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 7\times 25}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$b=\frac{-32±\sqrt{1024-28\times 25}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per 25.

$$b=\frac{-32±\sqrt{1024-700}}{2\times 7}$$

Aggiungi 1024 a -700.

$$b=\frac{-32±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$b=\frac{-32±18}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$b=\frac{-32±18}{14}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{-32±18}{14} quando ± è più. Aggiungi -32 a 18.

$$b=-\frac{14}{14}$$

Dividi -14 per 14.

$$b=-1$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{-32±18}{14} quando ± è meno. Sottrai 18 da -32.

$$b=-\frac{50}{14}$$

Riduci la frazione \frac{-50}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$b=-\frac{25}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$b=-1 b=-\frac{25}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7b^{2}+32b+25=0$$

Sottrai 25 da entrambi i lati dell'equazione.

$$7b^{2}+32b+25-25=-25$$

Sottraendo 25 da se stesso rimane 0.

$$7b^{2}+32b=-25$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7b^{2}+32b}{7}=-\frac{25}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$b^{2}+\frac{32}{7}b=-\frac{25}{7}$$

Dividi \frac{32}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{16}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{16}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$b^{2}+\frac{32}{7}b+\left(\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{25}{7}+\left(\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{16}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$b^{2}+\frac{32}{7}b+\frac{256}{49}=-\frac{25}{7}+\frac{256}{49}$$

Aggiungi -\frac{25}{7} a \frac{256}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$b^{2}+\frac{32}{7}b+\frac{256}{49}=\frac{81}{49}$$

Fattore b^{2}+\frac{32}{7}b+\frac{256}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b+\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(b+\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Semplifica.

$$b+\frac{16}{7}=\frac{9}{7} b+\frac{16}{7}=-\frac{9}{7}$$

Sottrai \frac{16}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$b=-1 b=-\frac{25}{7}$$