Risolvi 7(x-3)-5(x^2-1)=x^2-5(x+2)

$$7 ( x - 3 ) - 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) = x ^ { 2 } - 5 ( x + 2 )$$

Trova x

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

E -21 e 5 per ottenere -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combina -5x^{2} e -x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combina 7x e 5x per ottenere 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

E -16 e 10 per ottenere -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$2x-1-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=1$$

Riscrivi -x^{2}+2x-1 come \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Scomponi -x in -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

E -21 e 5 per ottenere -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combina -5x^{2} e -x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combina 7x e 5x per ottenere 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

E -16 e 10 per ottenere -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-6x^{2}+12x-6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -6 a a, 12 a b e -6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica -4 per -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 24 per -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-6\right)}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-6\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 2 per -6.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

Dividi -12 per -12.

$$x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

E -21 e 5 per ottenere -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combina -5x^{2} e -x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combina 7x e 5x per ottenere 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati.

$$12x-6x^{2}=-10+16$$

E -10 e 16 per ottenere 6.

$$12x-6x^{2}=6$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+12x=6$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{6}{-6}$$

La divisione per -6 annulla la moltiplicazione per -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{6}{-6}$$

Dividi 12 per -6.

$$x^{2}-2x=\frac{6}{-6}$$

Dividi 6 per -6.

$$x^{2}-2x=-1$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Aggiungi -1 a 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-1=0 x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=1$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=1$$