Risolvi 6x-1=9x^2

$$6x-1=9 { x }^{ 2 }$$

Trova x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 9x^{2} da entrambi i lati.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -9x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-9\left(-1\right)=9$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 9.

$$1,9 3,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+9=10 3+3=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=3 b=3$$

Riscrivi -9x^{2}+6x-1 come \left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right)$$

Scomponi -3x in -9x^{2}+3x.

$$-3x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(-3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e -3x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 9x^{2} da entrambi i lati.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -9 a a, 6 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+36\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 36 per -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\left(-9\right)}$$

Aggiungi 36 a -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{6}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 2 per -9.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{-18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 9x^{2} da entrambi i lati.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$6x-9x^{2}=1$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+6x=1$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$\frac{-9x^{2}+6x}{-9}=\frac{1}{-9}$$

La divisione per -9 annulla la moltiplicazione per -9.

$$x^{2}+\frac{6}{-9}x=\frac{1}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{6}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-9}$$

Dividi 1 per -9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{9} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{1}{3}$$